Einfache Zufallsstichprobe (Definition, Beispiel) - Formel, Berechnung

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Was ist eine einfache Zufallsstichprobe?

Was ist eine einfache Zufallsstichprobe?

Eine einfache Zufallsstichprobe ist ein Prozess, bei dem jeder Artikel oder jedes Objekt in der Population die gleiche Chance hat, ausgewählt zu werden, und bei Verwendung dieses Modells besteht eine geringere Wahrscheinlichkeit, dass bestimmte Objekte voreingenommen sind. Bei dieser Methode gibt es zwei Möglichkeiten der Probenahme: a) mit Ersatz und b) ohne Ersatz.

# 1 - Zufallsstichprobe mit Ersatz

Bei der Stichprobe mit Ersatz wird ein Artikel einmal ausgewählt und dann vor der nächsten Ziehung in der Grundgesamtheit ersetzt. Auf diese Weise hat dasselbe Objekt die gleiche Chance, bei jeder Ziehung ausgewählt zu werden.

Die Formel für "Mögliche Proben mit Ersatz".

Es gibt viele verschiedene Kombinationen von Objekten, die ausgewählt werden können, während eine Stichprobe aus einer Population von Objekten gezogen wird.

Anzahl möglicher Proben (mit Ersatz) = (Gesamtzahl der Einheiten) ^{(Anzahl der ausgewählten Einheiten)} Anzahl möglicher Proben (mit Ersatz) = N ⁿ

Wo,

N = Anzahl der Gesamtbevölkerung
n = Anzahl der auszuwählenden Einheiten

Nehmen wir zum Beispiel an, es gibt insgesamt 9 Spieler, von denen 3 ausgewählt werden müssen, um in ein spielendes Team aufgenommen zu werden, und die Selektoren haben beschlossen, die Stichprobenmethode durch Ersetzen zu verwenden.

In diesem Fall gibt es eine Reihe von Kombinationen, in denen Spieler ausgewählt werden könnten, dh

N ⁿ = 9 ³ = 729

Mit anderen Worten, es können 729 verschiedene Kombinationen von drei Spielern ausgewählt werden.

# 2 - Zufallsstichprobe ohne Ersatz

Bei ersatzlosen Stichproben wird ein Artikel einmal ausgewählt und in der Grundgesamtheit nicht ersetzt. Auf diese Weise kann ein bestimmtes Objekt nur einmal ausgewählt werden.

Die Formel für "Mögliche Proben ohne Ersatz".

Bei der am häufigsten verwendeten Stichprobe werden Probanden normalerweise nicht mehr als einmal, dh ohne Ersatz, in die Stichprobe aufgenommen.

Anzahl Proben (ohne Ersatz)

Anzahl möglicher Proben (ohne Ersatz) =

Wo,

N = Anzahl der Personen in der Bevölkerung
n = Nummer einer zu beprobenden Person
! = Es ist die Fakultätsnotation

Nehmen wir das gleiche Beispiel, diesmal jedoch ohne Ersatz.

In diesem Fall die Anzahl der Kombinationen, in denen Spieler ausgewählt werden könnten, dh

= 9! / 3! * (9,3)!
= 9! / 3! * 6!
= 9.8.7.6! / 3! 6!
= 9.8.7 / 3!
= 84

Mit einfachen Worten, es gibt 84 Möglichkeiten, die Kombination von 3 Spielern bei ersatzlosem Sampling auszuwählen.

Wir können den deutlichen Unterschied in der Stichprobengröße der Bevölkerung im Fall von "mit Ersatz" und "ohne Ersatz" sehen.

Im Allgemeinen werden seit langer Zeit zwei Methoden zur Zufallsauswahl verwendet. Beide sind wie folgt:

Lotteriemethode
Zufallszahlentabelle

Lotteriemethode - Dies ist die älteste Methode der einfachen Zufallsauswahl. Bei dieser Methode muss jedes Objekt in der Grundgesamtheit eine Nummer zuweisen und diese systematisch pflegen. Schreiben Sie diese Zahl auf Papier und mischen Sie diese Papiere in einer Schachtel. Dann werden die Zahlen zufällig aus der Schachtel ausgewählt. Jede Nummer hätte die Chance, ausgewählt zu werden.

Zufallszahlentabelle - Bei dieser Stichprobenmethode muss der Bevölkerung eine Zahl gegeben und diese in tabellarischer Form dargestellt werden. Zum Zeitpunkt der Probenahme hat jede Nummer die Möglichkeit, aus der Tabelle ausgewählt zu werden. Jetzt wird die Software eines Tages für die Zufallszahltabelle verwendet.

Beispiele für einfache Zufallsstichprobenformeln (mit Excel-Vorlage)

Lassen Sie uns die einfache Zufallsstichprobenformel anhand von Beispielen besser verstehen.

Beispiel 1

Wenn ein Kinosaal 100 Freikarten an seine Stammkunden verteilen möchte, hat der Kinosaal eine Liste mit 1000 Stammkunden in seinem System. Jetzt kann der Kinosaal zufällig 100 Kunden aus seinem System auswählen und die Tickets an sie senden.

Lösung:

Verwenden Sie die angegebenen Daten zur Berechnung der einfachen Zufallsstichprobe.

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit (P) kann wie folgt erfolgen:

Wahrscheinlichkeit = Anzahl in der ausgewählten Stichprobe / Gesamtzahl der Bevölkerung

= 1000/100

Wahrscheinlichkeit (P) ist -

= 10%

Beispiel 2

ABC Ltd ist ein Produktionsunternehmen, das sich mit der Herstellung von Glühbirnen befasst. Es werden 10 Glühbirnen pro Tag hergestellt. Es besteht aus einem Qualitätsinspektionsteam, das mit der Überraschungsinspektion von Glühbirnen und der Messung der allgemeinen Machbarkeit des Unternehmens zur Herstellung guter Glühbirnen beauftragt ist. Sie beschlossen, die Glühbirnen nach dem Zufallsprinzip zu inspizieren, und sie beschlossen, eine Probe von 3 Glühbirnen zu entnehmen. An diesem Tag waren 2 defekte Glühbirnen und 8 gute Glühbirnen vorgesehen. Vergleichen Sie die Ergebnisse in beiden Fällen der Probenahme - mit und ohne Ersatz.

Lösung

Verwenden Sie die angegebenen Daten zur Berechnung der einfachen Zufallsstichprobe.

Bei Probenahme mit Ersatz-

Anzahl der Proben, die ausgewählt werden konnten = (Gesamtzahl der Einheiten) ⁽ Anzahl der ^{ausgewählten Einheiten der Probe)}
= (10) ³
= 1000

Das heißt, es gibt 1000 mögliche Proben, die ausgewählt werden könnten.

Bezeichnen wir die Population wie folgt: G1, G2, G3, G4, G5, G6, G7, G8, D1, D2.

Dann könnte die Stichprobe (G1, G2, G3), (G1, D1, G7) usw. sein. Insgesamt 1000 Stichproben.

Nehmen wir nun an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die vom Aufsichtspersonal ausgewählte Probe mindestens eine der defekten Glühbirnen aufweist.

Bei Probenahme mit Austausch

Wahrscheinlichkeit (mindestens 1 defekt) = Gesamtwahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit (keine defekt)

Wo,

Gesamtwahrscheinlichkeit bedeutet die Wahrscheinlichkeit der Gesamtbevölkerung (universelle Menge), dh immer 1.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Auswahl guter Glühbirnen

Wahrscheinlichkeit (keine fehlerhaft) = Wahrscheinlichkeit (Waren) x Wahrscheinlichkeit (Waren) x Wahrscheinlichkeit (Waren)

1 ^st Ziehe 2 ^nd 3 Zeichnen ^rD Zeichnen

= n (Anzahl der guten Glühbirnen) / N (Gesamtzahl der Glühbirnen) * n (Anzahl der guten Glühbirnen) / N (Gesamtzahl der Glühbirnen) * n (Anzahl der guten Glühbirnen) / N (Gesamtzahl der Glühbirnen)

= 8/10 * 8/10 * 8/10

= 0,512

Wenn wir nun diese Werte in die Hauptgleichung einfügen, erhalten wir:

Wahrscheinlichkeit (mindestens 1 defekt) = Gesamtwahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit (keine defekt)
= 1 - 0,512
= 0,488

Erläuterung - Die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl guter Glühbirnen betrug immer 8/10, da nach jeder Ziehung die ausgewählte Glühbirne in der Gesamtgruppe ersetzt wurde, wodurch immer die Gesamtzahl der guten Glühbirnen in der Gruppe 8 und die Gesamtgröße der Gruppe ermittelt wurden Insgesamt 10 Glühbirnen.

Bei ersatzloser Probenahme

Wahrscheinlichkeit (mindestens 1 defekt) = Gesamtwahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit (keine defekt)

Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Auswahl guter Glühbirnen

Wahrscheinlichkeit (keine fehlerhaft) = Wahrscheinlichkeit (Waren) x Wahrscheinlichkeit (Waren) x Wahrscheinlichkeit (Waren)

1 ^st Ziehe 2 ^nd 3 Zeichnen ^rD Zeichnen

= 8/10 * 7/9 * 6/8

= 0,467

Wenn wir nun diese Werte in die Hauptgleichung einfügen, erhalten wir:

Wahrscheinlichkeit (mindestens 1 defekt) = Gesamtwahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit (keine defekt)

= 1 - 0,467
= 0,533

Erläuterung - Die Wahrscheinlichkeit, eine gute Lampe aus der Gruppe , in dem 1 Auswahl ^st Unentschieden war 10.08 denn insgesamt waren es 8 gute Glühbirnen in der Gruppe von insgesamt 10 Lampen. Aber nach dem 1 ^st ziehen, wurde die ausgewählte Lampe nicht wieder gewählt werden, was bedeutet , es ist in der nächsten Ziehung ausgeschlossen werden. So in den 2 ^nd ziehen, waren die guten Glühbirnen bis 7 reduziert , nachdem die Lampe in dem ersten Streck ausgewählt ausgenommen, und die Gesamtleuchtmittel in der Gruppe blieben 9 machen die Wahrscheinlichkeit einen guten Lampe in den 2 Auswahl ^nd 7/9 ziehen. Das gleiche Verfahren wird für die drei in Betracht gezogen werden ^rd Unentschieden.

In dem gegebenen Beispiel können Sie , dass bei der Abtastung mit Ersatz sehen, 1 ^st , 2 ^nd, 3 ^rd zeichnet ist unabhängig, das heißt, die Wahrscheinlichkeit , eine gute Lampe in allen Fällen von der Auswahl sei gleich (8 / 10).

Während bei ersatzloser Probenahme jede Ziehung von der vorherigen Ziehung abhängt. Zum Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine gute Glühbirne in der ersten Ziehung auszuwählen, 8/10, da 8 gute Glühbirnen in insgesamt 10 Glühbirnen vorhanden waren. Bei der zweiten Ziehung betrug die Anzahl der verbleibenden guten Glühbirnen jedoch 7, und die Gesamtpopulationsgröße wurde auf 9 reduziert. Somit wurde die Wahrscheinlichkeit 7/9.

Beispiel 3

Nehmen wir an, Herr A ist ein Arzt mit 9 Patienten, die an einer Krankheit leiden, für die er sie regelmäßig mit Medikamenten und Medikamenteninjektionen versorgen muss, und drei der Patienten leiden an Dengue-Fieber. Der Rekord von drei Wochen ist wie folgt:

Nachdem die Medikamente keine Ergebnisse zeigten, beschloss der Arzt, sie an einen Facharzt zu überweisen. Aus Zeitgründen entschied sich der Spezialist, 3 Patienten zu untersuchen, um ihre Zustände und Situationen zu untersuchen.

Lösung:

Um eine unvoreingenommene Sicht auf die Bevölkerung zu erhalten, müssen der Mittelwert und die Varianz der im Durchschnitt ausgewählten Stichprobe dem Mittelwert und der Varianz der gesamten Bevölkerung entsprechen.

Der Mittelwert der Bevölkerung bedeutet hier die durchschnittliche Anzahl der von den Patienten in drei Wochen verwendeten Arzneimittel, die durch Summieren aller Nr. Berechnet werden kann. von Injektionen und dividiert durch die Gesamtzahl der Patienten. (Mittel sind Teil verschiedener mathematischer Konzepte sowie in der Statistik.)

Mittelwert der Bevölkerung (X _p ),

Mittelwert der Bevölkerung (X _p ),

Wo,

Xp = angenommener Begriff für den Mittelwert der Bevölkerung
Xi = Anzahl der Injektionen für den i- ^ten Patienten
N = Gesamtzahl der Patienten

Wenn wir diese Werte in die Gleichung einfügen, erhalten wir

Berechnung des Bevölkerungsmittels

Bevölkerungsdurchschnitt = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) / (9)
= 10,1 Arzneimittelinjektionen pro Patient

Erklärung - Dies bedeutet, dass ein Patient durchschnittlich 3,1 Arzneimittelinjektionen in 3 Wochen verwendet.

Wie wir sehen können, unterscheidet sich im Beispiel die tatsächliche Anzahl der von den Patienten verwendeten Injektionen vom Mittelwert der Population, den wir berechnet haben, und für einen solchen Begriff wird die Varianz verwendet.

Hier bedeutet Varianz der Bevölkerung den Durchschnitt des Quadrats der Differenz zwischen den ursprünglich vom Patienten verwendeten Arzneimitteln und den durchschnittlichen von allen Patienten verwendeten Arzneimitteln (Mittelwert der Bevölkerung).

Populationsvarianzformel

Populationsvarianz = Summe des Quadrat der Differenz zwischen tatsächlichen Medikamenten und durchschnittlichen Medikamenten / Gesamtzahl der Patienten

= (Tatsächliches Medikament 1. Patient - durchschnittliches Medikament) 2 + (Tatsächliches Medikament 2. Patient - durchschnittliches Medikament) 2 bis 9. Patient / Gesamtzahl der Patienten

= (10-10.1) 2 + (8-10.1) 2…. + (10-10.1) 2/9

Berechnung der Bevölkerungsvarianz

= (0,01 + 4,46 + 3,57 + 1,23 + 0,79 + 0,79 + 1,23 + 0,79 + 0,01
Bevölkerungsvarianz = 1,43

In diesem Fall ist die Nummer der Stichprobe, die ausgewählt werden kann, = (Total Units) ⁽ Anzahl der ^{ausgewählten Einheiten der Stichprobe)}

= 9 ³ = 729

Relevanz und Verwendung

Dieser Prozess wird verwendet, um aus Stichproben Rückschlüsse auf die Population zu ziehen. Es wird verwendet, um die Merkmale einer Population zu bestimmen, indem nur ein Teil (eine Stichprobe) der Population beobachtet wird.
Die Entnahme einer Stichprobe erfordert im Vergleich zur Beobachtung der gesamten Bevölkerung weniger Ressourcen und Budget.
Eine Stichprobe liefert schnell die erforderlichen Informationen, während die gesamte Bevölkerung beobachtet wird. Dies ist möglicherweise nicht möglich und kann viel Zeit in Anspruch nehmen.
Eine Stichprobe ist möglicherweise genauer als ein Bericht über die gesamte Bevölkerung. Eine schlampig durchgeführte Volkszählung kann weniger zuverlässige Informationen liefern als eine sorgfältig erhaltene Probe.
Im Falle einer Prüfung ist eine Bestätigung und Überprüfung von Transaktionen einer großen Branche in der angegebenen Zeit möglicherweise nicht möglich. Daher wird das Stichprobenverfahren so verwendet, dass eine unverzerrte Stichprobe ausgewählt werden kann, die alle Transaktionen darstellt.