Formel zur Berechnung des Z-Scores
Der Z-Score der Rohdaten bezieht sich auf den Score, der durch Messen der Anzahl der Standardabweichungen über oder unter dem Populationsmittelwert der Daten generiert wird, was beim Testen der betrachteten Hypothese hilfreich ist. Mit anderen Worten, es ist der Abstand eines Datenpunkts vom Populationsmittelwert, der als Vielfaches der Standardabweichung ausgedrückt wird.
- Die Z-Scores variieren im Bereich des -3-fachen der Standardabweichung (ganz links von der Normalverteilung) bis zum +3-fachen der Standardabweichung (ganz rechts von der Normalverteilung).
- Die Z-Scores haben einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1.
Die Gleichung für den z-Score eines Datenpunkts wird berechnet, indem der Populationsmittelwert vom Datenpunkt (als x bezeichnet ) subtrahiert wird , und dann wird das Ergebnis durch die Populationsstandardabweichung geteilt. Mathematisch wird es dargestellt als,
Z Score = (x - μ) / ơ
wo
- x = Datenpunkt
- μ = Mittelwert
- ơ = Standardabweichung
Berechnung des Z-Scores (Schritt für Schritt)
Die Gleichung für den Z-Score eines Datenpunkts kann mithilfe der folgenden Schritte abgeleitet werden:
- Schritt 1: Bestimmen Sie zunächst den Mittelwert des Datensatzes anhand der Datenpunkte oder Beobachtungen, die mit x i bezeichnet sind , während die Gesamtzahl der Datenpunkte im Datensatz mit N bezeichnet wird.
- Schritt 2: Bestimmen Sie als nächstes die Standardabweichung der Population auf der Grundlage des Populationsmittelwerts μ, der Datenpunkte x i und der Anzahl der Datenpunkte in der Population N.
- Schritt 3: Schließlich wird der Z-Score durch Subtrahieren des Mittelwerts vom Datenpunkt abgeleitet, und dann wird das Ergebnis durch die Standardabweichung geteilt, wie unten gezeigt.
Beispiele
Beispiel 1
Nehmen wir das Beispiel einer Klasse von 50 Schülern, die letzte Woche den Wissenschaftstest geschrieben haben. Heute ist der Ergebnistag, und der Klassenlehrer sagte mir, dass John im Test 93 Punkte erzielte, während die durchschnittliche Punktzahl der Klasse 68 betrug. Bestimmen Sie den Z-Wert für Johns Testnote, wenn die Standardabweichung 13 beträgt.
Lösung:
Gegeben,
- Johns Testergebnis, x = 93
- Mittelwert μ = 68
- Standardabweichung, ơ = 13
Daher kann der Z-Score für Johns Test-Score unter Verwendung der obigen Formel berechnet werden als:
Z = (93 - 68) / 13
Z Score wird sein -
Z-Punktzahl = 1,92
Daher liegt Johns Ztest-Punktzahl 1,92 Standardabweichung über der durchschnittlichen Punktzahl der Klasse, was bedeutet, dass 97,26% der Klasse (49 Schüler) weniger als John erzielten.
Beispiel 2
Nehmen wir ein weiteres detailliertes Beispiel von 30 Schülern (da der Z-Test nicht für weniger als 30 Datenpunkte geeignet ist), die für einen Klassentest erschienen sind. Bestimmen Sie das Z-Test - Ergebnis für die 4 th Schüler auf der Grundlage die Markierungen von den Schülern erzielen von 100 bis 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66, 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.
Lösung:
Gegeben,
- x = 65,
- 4 th Student erzielte = 65,
- Anzahl der Datenpunkte, N = 30.
Mittelwert = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Mittelwert = 71,30
Jetzt kann die Standardabweichung unter Verwendung der folgenden Formel berechnet werden:
ơ = 13,44
Daher Z-Score des 4 - ten Schüler kann wie mit der obigen Formel berechnet werden,
Z = (x - x) / s
- Z = (65-30) / 13,44
- Z = -0,47
Daher ist das 4 th ist Student-Score 0,47 Standardabweichung unter dem Durchschnittswert der Klasse, was bedeutet , dass 31,92% der Klasse (10 Schüler) hat weniger als die 4 th Student nach z- Core - Tabelle.
Z-Punktzahl in Excel (mit Excel-Vorlage)
Nehmen wir nun den in Beispiel 2 erwähnten Fall, um das Konzept des Z-Scores in der folgenden Excel-Vorlage zu veranschaulichen.
Nachfolgend finden Sie Daten zur Berechnung des Z-Scores.
Die detaillierte Berechnung der Z-Score-Formel-Teststatistik finden Sie in der unten angegebenen Excel-Tabelle.
Relevanz und Verwendung
Aus der Perspektive des Hypothesentests ist der Z-Score ein sehr wichtiges Konzept, da er verwendet wird, um zu testen, ob eine Teststatistik in den akzeptablen Wertebereich fällt oder nicht. Der Z-Score wird auch verwendet, um Daten vor der Analyse zu standardisieren, die Wahrscheinlichkeit eines Scores zu berechnen oder zwei oder mehr Datenpunkte zu vergleichen, die aus unterschiedlichen Normalverteilungen stammen. Es gibt die vielfältige Anwendung von Z-Score über Felder hinweg, wenn es richtig angewendet wird.
