Formel zur Berechnung der T-Verteilung des Schülers
Die Formel zur Berechnung der T-Verteilung (im Volksmund auch als Student-T-Verteilung bekannt) wird als Subtrahieren des Populationsmittelwerts (Mittelwert der zweiten Stichprobe) vom Stichprobenmittelwert (Mittelwert der ersten Stichprobe) (x̄ - μ) dargestellt geteilt durch die Standardabweichung der Mittelwerte, die anfänglich geteilt wird durch die Quadratwurzel von n, die die Anzahl der Einheiten in dieser Stichprobe ist (s ÷ √ (n)).
Die T-Verteilung ist eine Art Verteilung, die fast wie die Normalverteilungskurve oder die Glockenkurve aussieht, jedoch etwas dicker und kürzer ist. Wenn die Stichprobengröße klein ist, wird diese Verteilung anstelle der Normalverteilung verwendet.
t = (x̄ - μ) / (s / √n)
Wo,
- x̄ ist der Stichprobenmittelwert
- μ ist der Populationsmittelwert
- s ist die Standardabweichung
- n ist die Größe der gegebenen Stichprobe
Berechnung der T-Verteilung
Die Berechnung der t-Verteilung des Schülers ist recht einfach, aber ja, die Werte sind erforderlich. Zum Beispiel braucht man den Bevölkerungsdurchschnitt, der das Universum bedeutet, der nichts anderes als der Durchschnitt der Bevölkerung ist, während der Stichprobenmittelwert erforderlich ist, um die Authentizität des Bevölkerungsmittels zu testen, ob die auf der Grundlage der Bevölkerung behauptete Aussage tatsächlich wahr ist und Wenn eine Probe genommen wird, entspricht dies derselben Aussage. Die t-Verteilungsformel subtrahiert hier also den Stichprobenmittelwert vom Populationsmittelwert und dividiert ihn dann durch Standardabweichung und Vielfache durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße, um den Wert zu standardisieren.
Da es jedoch keinen Bereich für die Berechnung der t-Verteilung gibt, kann der Wert merkwürdig werden, und wir können die Wahrscheinlichkeit nicht berechnen, da die t-Verteilung des Schülers Einschränkungen beim Erreichen eines Werts aufweist und daher nur für kleinere Stichprobengrößen nützlich ist . Um die Wahrscheinlichkeit nach Erreichen einer Punktzahl zu berechnen, muss der Wert aus der t-Verteilungstabelle des Schülers ermittelt werden.
Beispiele
Beispiel 1
Beachten Sie, dass Ihnen folgende Variablen gegeben werden:
- Bevölkerungsdurchschnitt = 310
- Standardabweichung = 50
- Stichprobengröße = 16
- Stichprobenmittelwert = 290
Berechnen Sie den t-Verteilungswert.
Lösung:
Verwenden Sie die folgenden Daten zur Berechnung der T-Verteilung.
Die Berechnung der T-Verteilung kann also wie folgt erfolgen:
Hier sind alle Werte angegeben. Wir müssen nur die Werte einbeziehen.
Wir können die t-Verteilungsformel verwenden
Wert von t = (290 - 310) / (50 / √16)
T-Wert = -1,60
Beispiel 2
Das Unternehmen SRH gibt an, dass seine Mitarbeiter auf Analystenebene durchschnittlich 500 US-Dollar pro Stunde verdienen. Eine Stichprobe von 30 Mitarbeitern auf Analystenebene wird ausgewählt, und ihr durchschnittlicher Stundenlohn betrug 450 USD bei einer Stichprobenabweichung von 30 USD. Berechnen Sie unter der Annahme, dass ihre Behauptung wahr ist, den t-Verteilungswert, anhand dessen die Wahrscheinlichkeit für die t-Verteilung ermittelt werden soll.
Lösung:
Verwenden Sie die folgenden Daten zur Berechnung der T-Verteilung.
Die Berechnung der T-Verteilung kann also wie folgt erfolgen:
Hier sind alle Werte angegeben; Wir müssen nur die Werte einbeziehen.
Wir können die t-Verteilungsformel verwenden
Wert von t = (450 - 500) / (30 / √30)
T-Wert = -9,13
Daher ist der Wert für t Score -9,13
Beispiel 3
Das Universal College Board hatte 50 zufällig ausgewählten Professoren einen IQ-Level-Test durchgeführt. Das Ergebnis war, dass der durchschnittliche IQ-Wert 120 mit einer Varianz von 121 betrug. Angenommen, der t-Wert beträgt 2,407. Was ist der Bevölkerungsdurchschnitt für diesen Test, der einen t-Wert von 2,407 rechtfertigen würde?
Lösung:
Verwenden Sie die folgenden Daten zur Berechnung der T-Verteilung.
Hier sind alle Werte zusammen mit dem t-Wert angegeben; Diesmal müssen wir den Populationsmittelwert anstelle des t-Werts berechnen.
Auch hier würden wir die verfügbaren Daten verwenden und die Populationsmittelwerte durch Einfügen der in der folgenden Formel angegebenen Werte berechnen.
Der Stichprobenmittelwert beträgt 120, der Populationsmittelwert ist unbekannt, die Stichprobenstandardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, die 11 betragen würde, und die Stichprobengröße beträgt 50.
Die Berechnung des Populationsmittelwerts (μ) kann also wie folgt erfolgen:
Wir können die t-Verteilungsformel verwenden.
Wert von t = (120 - μ) / (11 / √50)
2,407 = (120 - μ) / (11 / √50)
-μ = -2,407 * (11 / √50) -120
Populationsmittelwert (μ) beträgt -
μ = 116,26
Daher beträgt der Wert für den Bevölkerungsdurchschnitt 116,26
Relevanz und Verwendung
Die T-Verteilung (und die zugehörigen t-Score-Werte) wird beim Testen von Hypothesen verwendet, wenn herausgefunden werden muss, ob die Nullhypothese abgelehnt oder akzeptiert werden soll.
In der obigen Grafik ist der zentrale Bereich der Akzeptanzbereich und der Endbereich der Ablehnungsbereich. In diesem Diagramm, bei dem es sich um einen 2-Schwanz-Test handelt, ist der blau schattierte Bereich der Ablehnungsbereich. Der Bereich im Schwanzbereich kann entweder mit den t-Scores oder mit den z-Scores beschrieben werden. Nehmen Sie ein Beispiel; Das Bild links zeigt einen Bereich in den Schwänzen von fünf Prozent (das sind 2,5 Prozent auf beiden Seiten). Der Z-Score sollte 1,96 betragen (wobei der Wert aus der Z-Tabelle entnommen wird), was 1,96 Standardabweichungen vom Durchschnitt oder vom Mittelwert entspricht. Die Nullhypothese kann verworfen werden, wenn der Wert der z-Bewertung kleiner als der Wert von -1,96 ist oder der Wert der z-Bewertung größer als 1,96 ist.
Im Allgemeinen wird diese Verteilung wie zuvor beschrieben verwendet, wenn eine kleinere Stichprobengröße (meist unter 30) vorliegt oder wenn die Populationsvarianz oder die Populationsstandardabweichung nicht bekannt ist. Für praktische Zwecke (dh in der realen Welt) wäre dies größtenteils immer der Fall. Wenn die Größe der bereitgestellten Probe groß genug ist, sind die beiden Verteilungen praktisch ähnlich.
