Was ist Eulers Totientenfunktion?
Eulers Totientenfunktion sind die mathematischen multiplikativen Funktionen, die die positiven ganzen Zahlen bis zu der gegebenen ganzen Zahl zählen, die allgemein als 'n' bezeichnet wird und eine Primzahl bis 'n' ist, und die Funktion wird verwendet, um die Anzahl der Primzahlen zu kennen, die bis zu existieren gegebene ganze Zahl 'n'.
Erläuterung
Um zu wissen, wie viele Primzahlen auf die angegebene Ganzzahl 'n' Eulers Totientenfunktion kommen, wird verwendet. Es wird auch als arithmetische Funktion bezeichnet. Für eine Anwendung oder Verwendung der Totuler-Funktion von Euler sind zwei Dinge wichtig. Eine ist, dass die aus der gegebenen ganzen Zahl 'n' gebildete gcd miteinander multiplikativ sein sollte, und die andere ist, dass die Zahlen von gcd nur die Primzahlen sein sollten. Die Ganzzahl 'n' sollte in diesem Fall größer als 1 sein. Aus einer negativen Ganzzahl ist es nicht möglich, die Totientenfunktion des Eulers zu berechnen. In diesem Fall ist das Prinzip, dass für ϕ (n) die als m und n bezeichneten Multiplikatoren größer als 1 sein sollten. Daher mit 1 bezeichnet
Geschichte
Euler führte diese Funktion 1763 ein. Anfangs verwendete Euler das griechische π zur Bezeichnung der Funktion, aber aufgrund einiger Probleme erhielt seine Bezeichnung des griechischen π keine Anerkennung. Und er versäumte es, ihm das richtige Notationszeichen zu geben, dh ϕ. Daher kann die Funktion nicht eingeführt werden. Ferner wurde ϕ aus den 1801 Disquisitiones Arithmeticae von Gauß entnommen. Die Funktion wird auch als Phi-Funktion bezeichnet. Aber JJ Sylvester schloss 1879 den Begriff totient für diese Funktion aufgrund der Eigenschaften und der Verwendung der Funktionen ein. Die verschiedenen Regeln sind so gerahmt, dass sie mit verschiedenen Arten von Ganzzahlen umgehen, wie z. B. wenn die ganze Zahl p eine Primzahl ist, welche Regel angewendet werden soll usw. Alle von Euler umrahmten Regeln sind praktikabel und können auch heute noch verwendet werden, wenn mit der gleich.
Eigenschaften der Euler-Totientenfunktion
Es gibt einige der verschiedenen Eigenschaften. Einige der Eigenschaften von Eulers Totientenfunktion sind wie folgt:
- Φ ist das Symbol für die Funktion.
- Die Funktion befasst sich mit der Theorie der Primzahlen.
- Die Funktion ist nur bei positiven ganzen Zahlen anwendbar.
- Für ϕ (n) sind zwei multiplikative Primzahlen zu finden, um die Funktion zu berechnen.
- Die Funktion ist eine mathematische Funktion und in vielerlei Hinsicht nützlich.
- Wenn die ganze Zahl 'n' eine Primzahl ist, ist gcd (m, n) = 1.
- Die Funktion arbeitet mit der Formel 1 <m <n, wobei m und n die Primzahlen und multiplikativen Zahlen sind.
- Im Allgemeinen lautet die Gleichung
- Die Funktion zählt grundsätzlich die Anzahl der positiven Ganzzahlen, die kleiner als die angegebene Ganzzahl sind, was relativ Primzahlen zur angegebenen Ganzzahl sind.
- Wenn die gegebene ganze Zahl p eine Primzahl ist, ist ϕ (p) = p - 1
- Wenn die Potenz von p eine Primzahl ist, dann ist ϕ (p n ) = p n - p (n - 1) , wenn a = p n eine Primzahl ist.
- ϕ (n) ist nicht eins - eins
- ϕ (n) ist nicht auf.
- ϕ (n), n> 3 ist immer gerade.
- φ (10 n ) = 4 * 10 n-1
Berechnen Sie die Euler-Totientenfunktion
Beispiel 1
Berechnen Sie ϕ (7)?
Lösung:
ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6
Da alle Zahlen eine Primzahl von 7 sind, war es einfach, das ϕ zu berechnen.
Beispiel 2
Berechnen Sie ϕ (100)?
Lösung:
Da 100 eine große Zahl ist, ist es zeitaufwändig, die Primzahlen, die Primzahlen mit 100 sind, von 1 bis 100 zu berechnen. Daher wenden wir die folgende Formel an:
- ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1 - 1 / m) (1 - 1 / n)
- ϕ (100) = 2 2 * 2 5
- ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
- = 100 * 1/2 * 4/5
- = 40
Beispiel 3
Berechnen Sie ϕ (240)?
Vielfache von 240 sind 16 * 5 * 3, dh 2 4 * 5 * 3
- ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1 - 1 / m) (1 - 1 / n)
- ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3
Wenn n M keine Primzahl ist, verwenden wir n m - n m-1
- = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
- = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
- = 64
Beispiel 4
Berechnen Sie ϕ (49)?
- ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1 - 1 / m) (1 - 1 / n)
- ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
- = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
- = (7-1) * (7-1)
- = 6 * 6
- = 36
Anwendungen
Die verschiedenen Anwendungen sind wie folgt:
- Die Funktion wird zum Definieren des RSA-Verschlüsselungssystems verwendet, das für die Internet-Sicherheitsverschlüsselung verwendet wird.
- Wird in der Primzahlentheorie verwendet.
- Wird auch in großen Berechnungen verwendet.
- Wird in Anwendungen der Elementarzahlentheorie verwendet.
Fazit
Eulers Totientenfunktion ist in vielerlei Hinsicht nützlich. Es wird im RSA-Verschlüsselungssystem verwendet, das aus Sicherheitsgründen verwendet wird. Die Funktion befasst sich mit der Primzahlentheorie und ist auch bei der Berechnung großer Berechnungen nützlich. Die Funktion wird auch in algebraischen Berechnungen und Elementarzahlen verwendet. Das zur Bezeichnung der Funktion verwendete Symbol ist ϕ und wird auch als Phi-Funktion bezeichnet. Die Funktion besteht eher aus theoretischer als aus praktischer Verwendung. Der praktische Einsatz der Funktion ist begrenzt. Die Funktion kann durch die verschiedenen praktischen Beispiele besser verstanden werden als nur durch theoretische Erklärungen. Es gibt verschiedene Regeln für die Berechnung der Totientenfunktion des Eulers, und für verschiedene Zahlen sind verschiedene Regeln anzuwenden. Die Funktion wurde erstmals 1763 eingeführt, aber aufgrund einiger Problemees wurde 1784 anerkannt und der Name wurde 1879 geändert. Die Funktion ist eine universelle Funktion und kann überall angewendet werden.
