Was ist Log-Normalverteilung?
Eine logarithmische Normalverteilung ist eine kontinuierliche Verteilung von Zufallsvariablen, deren Logarithmen normal verteilt sind. Mit anderen Worten wird die logarithmische Normalverteilung durch die Funktion von e x erzeugt , wobei x (Zufallsvariable) normalverteilt sein soll. Im natürlichen Logarithmus von e x ist x, die Logarithmen von logarithmisch normalverteilten Zufallsvariablen sind normalverteilt.
Eine Variable X wird normalerweise verteilt, wenn Y = ln (X) ist, wobei ln der natürliche Logarithmus ist.
- Y = e x
- Nehmen wir auf beiden Seiten einen natürlichen Logarithmus an.
- lnY = ln e x, was zu lnY = x führt
Daher können wir sagen, wenn X als Zufallsvariable eine Normalverteilung hat, dann hat Y eine logarithmische Normalverteilung.
Log-Normalverteilungsformel
Die Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der logarithmischen Normalverteilung wird durch den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ definiert, die bezeichnet werden durch:
Parameter der logarithmischen Normalverteilung
Die logarithmische Normalverteilung ist durch die folgenden drei Parameter gekennzeichnet:
- σ , die Standardabweichung des Logarithmus der Verteilung, die auch als Formparameter bezeichnet wird. Der Formparameter wirkt sich im Allgemeinen auf die Gesamtform der logarithmischen Normalverteilung aus, hat jedoch keinen Einfluss auf die Position und Höhe des Diagramms.
- m , der Median der Verteilung, auch als Skalenparameter bekannt.
- Θ , der Positionsparameter, mit dem der Graph auf der x-Achse lokalisiert wird.
Der Mittelwert und die Standardabweichung sind zwei Hauptparameter der logarithmischen Normalverteilung und werden durch diese beiden Parameter explizit definiert.
Die folgende Abbildung zeigt die Normalverteilung und die logarithmische Normalverteilung.
In der obigen Abbildung können wir die folgenden Merkmale der logarithmischen Normalverteilung feststellen.
- Die logarithmischen Normalverteilungen sind aufgrund niedrigerer Mittelwerte und höherer Varianz der Zufallsvariablen in Überlegungen positiv nach rechts verschoben.
- Die logarithmische Normalverteilung wird immer von unten durch 0 begrenzt, da dies bei der Modellierung der Vermögenspreise hilft, von denen nicht erwartet wird, dass sie negative Werte aufweisen.
- Die logarithmische Normalverteilung ist bei einer großen Anzahl kleiner Werte positiv verzerrt und enthält einige Hauptwerte, was dazu führt, dass der Mittelwert sehr oft größer als der Modus ist.
Aus der obigen Abbildung konnten wir beobachten, dass die logarithmische Normalverteilung durch 0 begrenzt ist und positiv nach rechts geneigt ist, was an seinem langen Schwanz nach rechts zu erkennen ist. Diese beiden Beobachtungen werden als die Haupteigenschaften von logarithmischen Normalverteilungen angesehen. In der Praxis erwiesen sich logarithmische Normalverteilungen bei der Verteilung der Aktien- oder Vermögenspreise als sehr hilfreich, während die Normalverteilung bei der Schätzung der erwarteten Renditen des Vermögenswerts über einen bestimmten Zeitraum sehr hilfreich ist.
Beispiele für die logarithmische Normalverteilung
Im Folgenden sind einige Beispiele aufgeführt, bei denen logarithmische Normalverteilungen verwendet werden können:
- Das Gasvolumen in der Energie- und Erdölreserve.
- Das Volumen der Milchproduktion.
- Die Niederschlagsmenge.
- Das potenzielle Leben von Produktions- und Industrieanlagen, deren Überlebenschancen durch die Stressrate gekennzeichnet sind.
- Das Ausmaß der Zeiträume, in denen eine Infektionskrankheit vorliegt.
Anwendung und Verwendung der logarithmischen Normalverteilung
Im Folgenden sind Anwendungen und Verwendungen der Protokollnormalverteilung aufgeführt.
- Die am häufigsten verwendete und beliebteste Verteilung ist eine Normalverteilung, die normalverteilt und symmetrisch ist und eine glockenförmige Kurve bildet, die verschiedene natürliche von einfach bis sehr komplex modelliert hat.
- Es gibt jedoch Fälle, in denen die Normalverteilung Einschränkungen unterliegt, bei denen die logarithmische Normalverteilung leicht angewendet werden kann. Die Normalverteilung kann eine negative Zufallsvariable berücksichtigen, aber die logarithmische Normalverteilung sieht nur positive Zufallsvariablen vor.
- Eine der verschiedenen Anwendungen, bei denen die logarithmische Normalverteilung im Finanzwesen verwendet wird, wo sie bei der Analyse der Vermögenspreise angewendet wird. Die erwartete Kapitalrendite wird in einer Normalverteilung dargestellt, die Preise der Vermögenswerte werden jedoch in einer logarithmischen Normalverteilung dargestellt.
- Mit Hilfe der logarithmischen Normalverteilungskurve können wir die zusammengesetzte Rendite von Vermögenswerten über einen bestimmten Zeitraum leicht berechnen.
- Wenn wir eine Normalverteilung angewendet haben, um die Vermögenspreise über einen bestimmten Zeitraum zu berechnen, besteht die Möglichkeit, Renditen von weniger als -100% zu erzielen, bei denen anschließend die Preise von Vermögenswerten unter 0 angenommen werden. Wenn wir jedoch die logarithmische Normalverteilung verwenden, um die Verbindung zu schätzen Rendite über einen bestimmten Zeitraum können wir die Situation negativer Renditen leicht abwehren, da die logarithmische Normalverteilung nur positive Zufallsvariablen berücksichtigt.
- Ein Preisrelativ ist der Preis des Vermögenswerts am Ende des Zeitraums geteilt durch den Anfangspreis des Vermögenswerts, der 1 plus Rendite der Haltedauer entspricht. Um das Ende des Vermögenswerts des Periodenpreises zu ermitteln, können wir dasselbe erhalten, indem wir es mit dem relativen Preis multipliziert mit dem anfänglichen Vermögenspreis multiplizieren. Die logarithmische Normalverteilung nimmt nur einen positiven Wert an. Daher darf der Vermögenspreis am Ende des Zeitraums nicht unter 0 liegen.
Log-Normalverteilung bei der Modellierung von Aktienkursen
Die logarithmische Normalverteilung wurde zur Modellierung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Aktien und vielen anderen Vermögenspreisen verwendet. Beispielsweise haben wir beobachtet, dass im Black-Scholes-Merton-Optionspreismodell eine logarithmische Normalität auftritt, bei der davon ausgegangen wird, dass der Preis einer zugrunde liegenden Vermögensoption gleichzeitig logarithmisch normal verteilt ist.
Fazit
- Die Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die als asymmetrische und glockenförmige Kurve bezeichnet wird. Bei einer Normalverteilung liegen 69% des Ergebnisses innerhalb einer Standardabweichung und 95% innerhalb der beiden Standardabweichungen.
- Aufgrund der Popularität der Normalverteilung sind die meisten Menschen mit dem Konzept und der Anwendung der Normalverteilung vertraut, aber zu diesem Zeitpunkt scheinen sie mit dem Konzept der logarithmischen Normalverteilung nicht gleichermaßen vertraut zu sein. Die Normalverteilung kann mit Hilfe von Logarithmen in eine logarithmische Normalverteilung umgewandelt werden. Dies wird zur grundlegenden Grundlage, da die logarithmischen Normalverteilungen die einzige Zufallsvariable berücksichtigen, die normalverteilt ist.
- Lognormalverteilungen können in Verbindung mit der Normalverteilung verwendet werden. Lognormalverteilungen sind das Ergebnis der Annahme des natürlichen Logarithmus in ln, in dem die Basis gleich e = 2,718 ist. Zusätzlich zu der gegebenen Basis könnte die logarithmische Normalverteilung unter Verwendung einer anderen Basis hergestellt werden, was anschließend die Form der logarithmischen Normalverteilung beeinflussen würde.
- Die logarithmische Normalverteilung zeigt das Protokoll normalverteilter Zufallsvariablen aus den Normalverteilungskurven. Der ln, das natürliche Log ist bekannt als Exponent, auf den eine Basis angehoben werden sollte, um die gewünschte Zufallsvariable x zu erhalten, die auf der Normalverteilungskurve gefunden werden könnte.
