Definition der hypergeometrischen Verteilung
In der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die hypergeometrische Verteilung im Grunde genommen eine eindeutige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit von k Erfolgen (dh einige zufällige Ziehungen für das gezeichnete Objekt, das ein bestimmtes Merkmal aufweist) in n Zügen ohne Ersatz aus einer gegebenen definiert Populationsgröße N, die genau K Objekte mit diesem Merkmal enthält, bei denen die Zeichnung erfolgreich sein oder fehlschlagen kann.
Die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer hypergeometrischen Verteilung wird unter Verwendung einer Anzahl von Elementen in der Population, der Anzahl von Elementen in der Stichprobe, der Anzahl von Erfolgen in der Population, der Anzahl von Erfolgen in der Stichprobe und wenigen Kombinationen abgeleitet. Mathematisch wird die Wahrscheinlichkeit dargestellt als
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
wo,
- N = Anzahl der Gegenstände in der Bevölkerung
- n = Anzahl der Elemente in der Stichprobe
- K = Anzahl der Erfolge in der Bevölkerung
- k = Anzahl der Erfolge in der Stichprobe
Der Mittelwert und die Standardabweichung einer hypergeometrischen Verteilung werden ausgedrückt als:
Mittelwert = n * K / N Standardabweichung = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1)) 1/2Erläuterung
Schritt 1: Bestimmen Sie zunächst die Gesamtzahl der Gegenstände in der Grundgesamtheit, die mit N bezeichnet wird. Beispielsweise beträgt die Anzahl der Spielkarten in einem Stapel 52.
Schritt 2: Bestimmen Sie als Nächstes die Anzahl der Elemente in der Stichprobe, die mit n bezeichnet ist, z. B. die Anzahl der aus dem Stapel gezogenen Karten.
Schritt 3: Bestimmen Sie als Nächstes die Instanzen, die als Erfolge in der Population angesehen werden. Diese werden mit K bezeichnet. Beispielsweise beträgt die Anzahl der Herzen im Gesamtdeck 13.
Schritt 4: Bestimmen Sie als nächstes die Instanzen, die als Erfolge in der gezogenen Stichprobe gelten, und sie wird mit k bezeichnet. ZB die Anzahl der Herzen in den Karten, die aus dem Stapel gezogen wurden.
Schritt 5: Schließlich wird die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer hypergeometrischen Verteilung unter Verwendung einer Anzahl von Elementen in der Population (Schritt 1), einer Anzahl von Elementen in der Stichprobe (Schritt 2) und einer Anzahl von Erfolgen in der Population (Schritt 3) abgeleitet. und Anzahl der Erfolge in der Probe (Schritt 4) wie unten gezeigt.
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C nBeispiele für die hypergeometrische Verteilung (mit Excel-Vorlage)
Beispiel 1
Nehmen wir das Beispiel eines gewöhnlichen Kartenspiels, bei dem 6 Karten ohne Ersatz zufällig gezogen werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, genau 4 rote Suitenkarten zu ziehen, dh Diamanten oder Herzen.
- Gegeben ist N = 52 (da ein gewöhnliches Spieldeck 52 Karten enthält)
- n = 6 (Anzahl der zufällig aus dem Stapel gezogenen Karten)
- K = 26 (da es jeweils 13 rote Karten in der Suite mit Diamanten und Herzen gibt)
- k = 4 (Anzahl der roten Karten, die in der gezogenen Stichprobe als erfolgreich gelten)
Lösung:
Daher kann die Wahrscheinlichkeit, genau 4 rote Suites-Karten in den gezogenen 6 Karten zu ziehen, unter Verwendung der obigen Formel wie folgt berechnet werden:
Wahrscheinlichkeit = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 26 C 4 * (52 - 26) C (6 - 4) / 52 C 6
= 26 C 4 * 26 C 2 / 52 C 6
= 14950 * 325/20358520
Die Wahrscheinlichkeit wird sein -
Wahrscheinlichkeit = 0,2387 ~ 23,87%
Daher besteht eine Wahrscheinlichkeit von 23,87%, genau 4 rote Karten zu ziehen, während 6 zufällige Karten aus einem normalen Deck gezogen werden.
Beispiel 2
Nehmen wir ein weiteres Beispiel für eine Brieftasche, die 5 100-Dollar-Scheine und 7 1-Dollar-Scheine enthält. Wenn 4 Scheine zufällig ausgewählt werden, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, genau 3 100-Dollar-Scheine auszuwählen.
- Gegeben, N = 12 (Anzahl der 100-Dollar-Scheine + Anzahl der 1-Dollar-Scheine)
- n = 4 (Anzahl der zufällig ausgewählten Rechnungen)
- K = 5 (da es 5 100-Dollar-Scheine gibt)
- k = 3 (Anzahl der 100-Dollar-Scheine, die in der ausgewählten Stichprobe als Erfolg gewertet werden sollen)
Lösung:
Daher kann die Wahrscheinlichkeit, genau 3 100-Dollar-Scheine in den zufällig ausgewählten 4 Scheinen auszuwählen, unter Verwendung der obigen Formel wie folgt berechnet werden:
Wahrscheinlichkeit = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 5 C 3 * (12 - 5) C (4 - 3) / 12 C 4
= 5 C 3 * 7 C 1 / 12 C 4
= 10 · 7/495
Wahrscheinlichkeit wird sein -
Wahrscheinlichkeit = 0,1414 ~ 14,14%
Daher besteht eine Wahrscheinlichkeit von 14,14%, genau 3 100-Dollar-Scheine auszuwählen, während 4 zufällige Scheine gezogen werden.
Relevanz und Verwendung
Das Konzept der hypergeometrischen Verteilung ist wichtig, da es eine genaue Möglichkeit zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten bietet, wenn die Anzahl der Versuche nicht sehr groß ist und Proben aus einer endlichen Population ersatzlos entnommen werden. Tatsächlich ist die hypergeometrische Verteilung analog zur Binomialverteilung, die verwendet wird, wenn die Anzahl der Versuche wesentlich groß ist. Die hypergeometrische Verteilung wird jedoch überwiegend für die ersatzlose Probenahme verwendet.
