Formel zur Berechnung der Standardnormalverteilung
Die Standardnormalverteilung ist eine Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung, die symmetrisch zum Durchschnitt oder Mittelwert ist und zeigt, dass die Daten in der Nähe des Durchschnitts oder des Mittelwerts häufiger auftreten als die Daten, die weit vom Durchschnitt oder Mittelwert entfernt sind. Eine Bewertung der Standardnormalverteilung kann als „Z-Bewertung“ bezeichnet werden.
Die Standard-Normalverteilungsformel ist wie folgt dargestellt:
Z - Score = (X - µ) / σ
Wo,
- X ist eine normale Zufallsvariable
- µ ist der Durchschnitt oder der Mittelwert
- σ ist die Standardabweichung
Dann müssen wir die Wahrscheinlichkeit aus der obigen Tabelle ableiten.
Erläuterung
Die Standardnormalverteilung in Ordnungswörtern, die als Z-Verteilung bezeichnet wird, hat die folgenden Eigenschaften:
- Es hat einen Durchschnitt oder sagt den Mittelwert von Null.
- Es hat eine Standardabweichung, die gleich 1 ist.
Anhand der normalen Standardtabelle können wir die Bereiche unter der Dichtekurve ermitteln. Der Z-Score ist bei der Standardnormalverteilung schmerzhaft und sollte als Anzahl der Standardabweichungen interpretiert werden, bei denen der Datenpunkt unter oder über dem Durchschnitt oder dem Mittelwert liegt.
Ein negativer Z-Score zeigt einen Score an, der unter dem Mittelwert oder dem Durchschnitt liegt, während ein positiver Z-Score anzeigt, dass der Datenpunkt über dem Mittelwert oder dem Durchschnitt liegt.
Die Standardnormalverteilung folgt der 68-95-99.70-Regel, die auch als empirische Regel bezeichnet wird, und gemäß dieser Regel müssen achtundsechzig Prozent der angegebenen Daten oder Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Durchschnitt oder Mittelwert liegen Fünfundneunzig Prozent müssen innerhalb von zwei Standardabweichungen liegen, und schließlich müssen die neunundneunzig Dezimalstellen von sieben Prozent des Wertes oder der Daten innerhalb von drei Standardabweichungen vom Durchschnitt oder vom Mittelwert liegen.
Beispiele
Beispiel 1
Betrachten Sie den Ihnen gegebenen Mittelwert wie 850, die Standardabweichung als 100. Sie müssen die Standardnormalverteilung für eine Punktzahl über 940 berechnen.
Lösung:
Verwenden Sie die folgenden Daten zur Berechnung der Standardnormalverteilung.
Die Berechnung der z-Punktzahl kann also wie folgt erfolgen:
Z - Score = (X - µ) / σ
= (940 - 850) / 100
Z Score wird sein -
Z-Punktzahl = 0,90
Unter Verwendung der obigen Tabelle der Standardnormalverteilung haben wir einen Wert für 0,90 als 0,8159, und wir müssen die Punktzahl über dem Wert berechnen, der P ist (Z> 0,90).
Wir brauchen den richtigen Weg zum Tisch. Daher wäre die Wahrscheinlichkeit 1 - 0,8159, was 0,1841 entspricht.
Somit liegen nur 18,41% der Werte über 940.
Beispiel 2
Sunita nimmt an Privatkursen für Mathematikfächer teil und hat derzeit rund 100 eingeschriebene Schüler. Nach dem 1 st Test , den sie für ihre Schüler nahm, bekam sie die folgenden durchschnittlichen Zahlen, die von ihnen hat, und haben sie Perzentil-weise gewählt.
Lösung:
Zuerst zeichnen wir, worauf wir abzielen, was die linke Seite der Heilung ist. P (Z <75).
Verwenden Sie die folgenden Daten zur Berechnung der Standardnormalverteilung.
Dazu müssen wir zuerst den Mittelwert und die Standardabweichung berechnen.
Die Berechnung des Mittelwerts kann wie folgt erfolgen:
Mittelwert = (98 + 40 + 55 + 77 + 76 + 80 + 85 + 82 + 65 + 77) / 10
Mittelwert = 73,50
Die Berechnung der Standardabweichung kann wie folgt erfolgen:
Standardabweichung = √ (∑ (x - x) / (n-1))
Standardabweichung = 16,38
Die Berechnung der z-Punktzahl kann also wie folgt erfolgen:
Z - Score = (X - µ) / σ
= (75 - 73,50) / 16,38
Z Score wird sein -
Z-Punktzahl = 0,09
Unter Verwendung der obigen Tabelle einer Standardnormalverteilung haben wir den Wert für 0,09 als 0,5359 und das ist der Wert für P (Z <0,09).
Somit erzielten 53,59% der Schüler weniger als 75 Punkte.
Beispiel 3
Vista Limited ist ein Showroom für elektronische Geräte. Sie will ihr Verbraucherverhalten analysieren. Es hat rund 10.000 Kunden in der ganzen Stadt. Im Durchschnitt gibt der Kunde 25.000 aus, wenn es um sein Geschäft geht. Die Ausgaben variieren jedoch erheblich, da die Kunden zwischen 22.000 und 30.000 ausgeben. Der Durchschnitt dieser Abweichung von 10.000 Kunden, die das Management von Vista Limited ermittelt hat, liegt bei 500.
Das Management von Vista Limited hat sich an Sie gewandt und sie sind interessiert zu wissen, wie viel Prozent ihrer Kunden mehr als 26.000 ausgeben? Angenommen, die Ausgabenzahlen des Kunden sind normal verteilt.
Lösung:
Zuerst zeichnen wir, worauf wir abzielen, was die linke Seite der Heilung ist. P (Z> 26000).
Verwenden Sie die folgenden Daten zur Berechnung der Standardnormalverteilung.
Die Berechnung der z-Punktzahl kann wie folgt erfolgen:
Z - Score = (X - µ) / σ
= (26000 - 25000) / 500
Z Score wird
Z Score = 2
Die Berechnung der Standardnormalverteilung kann wie folgt erfolgen:
Die Standardnormalverteilung wird
Unter Verwendung der obigen Tabelle der Standardnormalverteilung haben wir einen Wert für 2,00, der 0,9772 beträgt, und jetzt müssen wir für P (Z> 2) berechnen.
Wir brauchen den richtigen Weg zum Tisch. Daher wäre die Wahrscheinlichkeit 1 - 0,9772, was 0,0228 entspricht.
Somit geben 2,28% der Verbraucher mehr als 26000 aus.
Relevanz und Verwendung
Um eine informierte und richtige Entscheidung zu treffen, müssen alle Ergebnisse in eine ähnliche Skala umgewandelt werden. Man muss diese Bewertungen standardisieren und sie alle unter Verwendung der Z-Bewertungsmethode in die Standardnormalverteilung umwandeln, mit einer einzelnen Standardabweichung und einem einzelnen Durchschnitt oder dem Mittelwert. Dies wird hauptsächlich im Bereich der Statistik und auch im Bereich der Finanzen von Händlern verwendet.
Viele statistische Theorien haben versucht, die Preise des Vermögenswerts (in Finanzbereichen) unter der Hauptannahme zu modellieren, dass sie dieser Art der Normalverteilung folgen sollen. Preisverteilungen haben meist dickere Schwänze und daher eine Kurtosis, die in realen Szenarien größer als 3 ist. Es wurde beobachtet, dass solche Vermögenswerte Preisbewegungen aufweisen, die größer als 3 Standardabweichungen über dem Durchschnitt oder dem Mittelwert und häufiger als die erwartete Annahme in einer Normalverteilung liegen.
