Definition unabhängiger Ereignisse
Unabhängiges Ereignis ist ein in der Statistik weit verbreiteter Begriff, der sich auf die Menge von zwei Ereignissen bezieht, bei denen das Auftreten eines der Ereignisse das Auftreten eines anderen Ereignisses der Menge nicht beeinflusst. Mit anderen Worten, dies sind Ereignisse, die keine Informationen über das Auftreten oder Nichtauftreten anderer Ereignisse liefern.
Erläuterung
In einem normalen Szenario kann das Auftreten oder Nichtauftreten eines bestimmten Ereignisses einen Einblick in andere Ereignisse geben. Dies ist jedoch bei unabhängigen Ereignissen nicht der Fall, da das Auftreten oder Nichtauftreten eines Ereignisses keine Vorstellung oder Information über das Vorhandensein eines anderen Ereignisses liefert. Somit hängt das Ergebnis eines der Ereignisse nicht vom Ergebnis eines anderen Ereignisses in derselben Menge ab.
Beispiele für unabhängige Ereignisse
Das Konzept kann anhand einiger Beispiele gut verstanden werden -
- Wir nehmen zwei Münzen und werfen sie dann weg. Das Auftreten von Schwanz oder Kopf auf einer Münze ist nicht entscheidend für das Auftreten von Schwanz oder Kopf auf einer anderen Münze. Somit kann das gleichzeitige Werfen von zwei Münzen oder das zweimalige Werfen derselben Münze als unabhängiges Ereignis bezeichnet werden. Der Grund ist, dass die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses (dh Kopf oder Zahl) jedes Mal 50% beträgt und nicht vom letzten Wurf abhängt.
- Wenn wir zwei Würfel nehmen und sie würfeln, entscheidet die resultierende Zahl auf einem Würfel nicht über die resultierende Zahl auf dem zweiten Würfel. Infolgedessen ist das Würfeln von zwei Würfeln ein weiteres Beispiel.
Regeln
Es gibt eine Multiplikationsregel für die Wahrscheinlichkeit, anhand derer getestet werden kann, ob die beiden Ereignisse unabhängig sind oder nicht.
Multiplikationsregeln besagen, dass, wenn zwei Ereignisse unabhängig sind, Folgendes gilt:
P (A | B) = P (A)
Diese mathematische Konnotation bedeutet, dass zwei Ereignisse mit den Namen A und B als unabhängig bezeichnet werden, wenn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A angesichts des Eintretens des Ereignisses B gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist. Das Auftreten oder Nichtauftreten eines Ereignisses entscheidet nicht über das Auftreten oder Nichtauftreten eines anderen Ereignisses.
In ähnlicher Weise gilt auch die folgende Konnotation.
P (B | A) = P (B)
Dies bedeutet, dass wenn A und B zwei unabhängige Ereignisse sind, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B, vorausgesetzt, dass Ereignis A eintritt, gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B ist.
Ferner gibt es eine weitere Beobachtung, die für solche Ereignisse gilt.
P (A und B) = P (A) * P (B)
Die obige Gleichung legt nahe, dass, wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten, dem Produkt ihrer individuellen Wahrscheinlichkeiten entspricht.
Unabhängige Ereignisse in der Wahrscheinlichkeit
In der Terminologie der Wahrscheinlichkeit können zwei Ereignisse als unabhängig bezeichnet werden, wenn das Ergebnis eines Ereignisses nicht entscheidend für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens oder Nichtauftretens eines anderen Ereignisses ist.
Es folgt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis -
Berechnen wir zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, 6 auf den Würfel zu bekommen, wenn wir ihn würfeln. Hier beträgt die Gesamtzahl der Ergebnisse sechs (Nummern 1,2,3,4,5 und 6), und eine Anzahl günstiger Ergebnisse ist eins (Nummer 6). Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,16.
Unabhängige vs. abhängige Ereignisse
- Zwei Ereignisse gelten als unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses nicht beeinflusst. Zum Beispiel sind das gleichzeitige Werfen von zwei Münzen unabhängige Ereignisse, da die Wahrscheinlichkeit von Kopf oder Schwanz auf der ersten Münze nicht von der Wahrscheinlichkeit von Kopf oder Schwanz auf einer anderen Münze abhängig oder entscheidend ist.
- Andererseits werden zwei Ereignisse als abhängig bezeichnet, wenn das Ergebnis eines der Ereignisse die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses ändern kann. In einfachen Worten, wenn das Ergebnis eines Ereignisses das Auftreten eines anderen Ereignisses beeinflussen kann, werden die Ereignisse als abhängige Ereignisse bezeichnet. In einem Kartenspiel mit 52 Karten werden beispielsweise zwei Karten nacheinander zufällig ausgewählt. Wenn nun die erste Karte ausgewählt und nicht ersetzt wird, ändert sich die Wahrscheinlichkeit der zweiten Karte definitiv, da nach dem Entfernen der ersten Karte nur noch 51 Karten im Stapel verbleiben sollen. Dies führt dazu, dass die beiden Ereignisse abhängige Ereignisse sind.
Fazit
Um zu schließen, ob die Ereignisse abhängig sind oder nicht, muss analysiert werden, ob das Auftreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des zweiten Ereignisses verändern kann. Man kann die Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse berechnen und Multiplikationsregeln anwenden, um den Unabhängigkeitstest zu testen.
